A Geometria surgiu na Grécia Antiga quando o homem tentou lidar com as formas da natureza, bus-cando representá-las simbolicamente.A Geometria de Posição ou Euclidiana representa a primeira idéia de Geometria.
Um ponto não tem dimensões. Representado por letras maiúsculas do nosso al-fabeto.
Se tomarmos um ponto P do espaço, diremos que por este ponto passam infinitas retas: é a radiação de retas que passa pelo ponto P.
A reta é uma extensão de uma única dimensão. Ela só tem comprimento e, por definição, não tem largura, nem altura.
A reta é determinada por dois pontos distintos e também por dois planos que se cortam.
O plano
Três pontos não-alinhados no espaço determinam um plano. O plano também se verifica em: Duas retas paralelas; Duas retas que se cortam; Uma reta e um ponto não-pertencente a ela. Dado um plano no espaço, existem infinitos pontos que pertencem a ele. Os pontos que pertencem a um mesmo plano chamam-se copla-nares. Existem também infinitos pontos que não pertencem ao plano.
Geralmente, os planos são descritos expressando-se 3 de seus pontos não-alinhados A, B e C, ou com uma letra grega. Uma reta pertence a um plano se todos os pontos dessa reta estão no plano. Se duas retas pertencem ao mesmo plano, diremos que são coplanares. Se uma reta tem dois pontos num plano, ela está toda contida no plano. Qualquer reta que esteja contida num plano o divide em dois semiplanos.
Classificação das retas
No espaço, duas retas podem estar em três posições distintas.
Retas concorrentes: cortam-se num ponto. Ex: As retas z e x estão no mesmo plano e são concorrentes (perpendiculares).
Retas reversas: não têm nenhum ponto em comum e estão situadas em planos distintos. Ex: As retas z e v não estão no mesmo plano. São, portanto, reversas.
Retas paralelas: não têm nenhum ponto em comum e estão situadas no mesmo plano. Ex:As retas z e y estão no mesmo plano e são paralelas.
Posições relativas de reta e plano
Posições relativas de dois planos no espaço
Dois planos no espaço podem ser: coincidentes, paralelos ou concorrentes. São coincidentes se estão no mesmo plano; são paralelos se não têm nenhum ponto em comum; e são concorrentes se têm uma reta em comum.
Euclides de Alexandria é um dos matemáticos da antiguidade mais conhecidos graças, principalmente, à sua obra Elementos de Geometria. Viveu, aproximada-mente, entre os anos de 330 e 270 a.C.. É provável que tenha sido formado na Escola Platônica de Atenas. Foi convidado por Ptolomeu I, que reinou entre 305-285 a.C., para ser professor no Museu de Alexandria. Euclides foi autor de várias obras importantes, tais como “Data”, “Sobre Divisões”, “Óptica”, “Fenómena”, “Sur-face Loci”, “Porism”, “Cónicas”, “Livro Falácias” e “Elementos da Música”. No en-tanto, a sua obra mais importante foi, indubitavelmente os “Elementos de Geome-tria”.
Elementos de Geometria
Nesta obra, Euclides compilou e sistematizou o conhecimento matemático da épo-ca, de uma forma tão perfeita, que a sua obra foi usada como texto de estudo du-rante cerca de 2000 anos, sem que se tenham feito correções, salvo pequenas modificações sem importância, o que lhe rendeu o nome de “Pai da Geometria”.
Os cinco postulados de Euclides são:
- De um ponto a outro ponto podemos traçar uma reta.
- Dada uma reta é sempre possível prolongá-la num sentido e no outro.
- De um ponto dado, com um raio qualquer, podemos descrever um círculo.
- Todos os ângulos retos são iguais.
- Quando duas retas A e B, cortadas por uma transversal S, formarem ângu-los internos do mesmo lado não suplementares, as ditas retas prolongadas suficientemente, encontram-se do lado em que a soma dos ângulos inter-nos for menor.
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